Die Produktregel

Die Produktregel der Ableitung ist eine von zwei essentiellen Regeln zum Ableiten komplexer Funktionen. Die andere ist die Kettenregel. Die Quotientenregel ist ein Sonderfall der Kettenregel.

Formale Definition:

f(x)=g(x)*h(x) => f'(x) = g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)

 

Anzuwenden bei:

Das bedeutet: Die Produktregel muss verwendet werden, wenn zwei Funktionen, die man leicht ableiten kann (x² wird zu 2x, die Exponentialfunktion bleibt unverändert) miteiander multipliziert.

Anwendungsverfahren:

Das Verfahren kann mit etwas Übung natürlich abgekürzt und häufig auch vollständig im Kopf gelöst werden. Bei komplizierteren Funktionen oder zum Einüben lässt sich das folgende System anwenden.

 

Wir beginnen damit, herauszufinden, wie die beiden Teilfunktionen lauten und schreiben diese heraus. Dann leiten wir diese einzelnen Funktionen ab. In unserem ersten Anwendungsbeispiel wären diese Teilfunktionen:

produktregel3

Hier haben wir auch sofort die Ableitungen erstellt, die uns durch Vorwissen schon bekannt sind.

Durch das Einsetzen in die oben gegebene Formel erhalten wir:

produktregel 4

So lassen sich die meisten Probleme lösen. Manchmal müssen die Kettenregel und die Produktregel verknüpft werden – ein Anwendungsbeispiel befindet sich im Beitrag “Kombination von Produkt- und Kettenregel

Sonderfälle:

Zwei Sonderfälle der Produktregel sind die Faktorregel und die Quotientenregel.

Auf die Faktorregel, die besagt, dass eine Konstante beim Ableiten unverändert übernommen wird, wird hier nicht näher eingegangen. Um die Quotientenregel zu vermeiden, können wir jedeoch folgendermaßen vorgehen:

Die Produktregel kann verwendet werdem um Funktionen der Form produktregel5 zu lösen. Dabei formen wir um: produktregel6und benutzen die Produktregel wie beschrieben. Die Beweise der Sonderfälle befinden sich in den entsprechenden Artkeln.

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